Quadrature de gauss exemple

On dit que le polynôme PN est un polynôme orthogonale de degré n associé à la fonction de poids ω (x). Si nous prenons les n noeuds XI pour être les zéros de PN, alors il n`y a pas de poids Wi qui font l`intégrale de Gauss-quadrature calculée exactement pour tous les polynômes h (x) de degré 2n − 1 ou moins. Nous souhaitons trouver la zone sous la courbe. L`erreur d`une règle de quadrature gaussienne peut être indiquée comme suit (Stoer & Bulirsch 2002, THM 3. Nous allons ensuite montrer comment résoudre un problème qui n`est pas un simple polynôme. Remarquez que la règle trapézoïdale est un cas particulier de (2). Si nous sommes autorisés à utiliser les noeuds et qui se trouvent à l`intérieur de l`intervalle [-1,1], la ligne à travers les deux points et traverse la courbe, et la zone sous la ligne se rapproche de plus près de la zone sous la courbe. Ainsi nous voyons que ∫ − 1 1 P (x) d x = ∫ − 1 1 R (x) d x {displaystyle int _ {-1} ^ {1} P (x) DX = int _ {-1} ^ {1} R (x) DX}. Quelles sont les conditions d`échec de cet algorithme? Les numéros d`équation sont donnés pour Abramowitz et Stegun (A & S).

Polynômes de Legendre, désignés par PN (x). Pour le premier exemple, je veux juste un exemple pour montrer que la solution est exacte pour les polynômes de degré 2 n − 1 {displaystyle 2n-1}, en utilisant le n {displaystyle n} th degré polynôme de Legendre. La règle trapézoïdale est, et elle exacte pour les lignes droites (i. les règles de Gauss – Kronrod sont des extensions des règles de quadrature de Gauss générées par l`ajout de n + 1 points à une règle de n-point de telle manière que la règle résultante est de l`ordre 2n + 1. Voir, par exemple, (Gil, Segura & Temme 2007) pour plus de détails. Cela permet de calculer des estimations d`ordre supérieur tout en réutilisant les valeurs de fonction d`une estimation de l`ordre inférieur. Tout d`abord, les polynômes définis par la relation de récurrence commençant par p 0 (x) = 1 {displaystyle P_ {0} (x) = 1} ont un coefficient de tête et un degré correct. Legendre polynomial P n (x) {displaystyle P_ {n} (x)} et que pour chaque i = 1, 2,. Les plus populaires sont l`algorithme Golub-Welsch nécessitant des opérations O (N2), la méthode de Newton pour résoudre p n (x) = 0 {displaystyle P_ {n} (x) = 0} en utilisant la récurrence à trois termes pour l`évaluation nécessitant des opérations O (N2), et des formules asymptotiques pour les grandes n nécessitant des opérations O (n). Pour rapprocher l`intégrale utiliser le changement de variable. Nous notons l`approximation par f a p p r o x {displaystyle f_ {env}} et la solution exacte par f e x a c t {displaystyle f_ {exact}}.

Toutefois, si le produit scalaire satisfait (x f, g) = (f, x g) {displaystyle (XF, g) = (f, XG)} (qui est le cas pour la quadrature gaussienne), la relation de récurrence se réduit à une relation de récurrence à trois termes: pour s < r − 1, x p s {displaystyle s < r-1, xp_ {s}} est un polynomi de degré inférieur ou égal à r − 1. L`exactitude de l`intégrale calculée pour h (x) {displaystyle h (x)} découle alors de l`exactitude correspondante pour les polynômes de degré seulement n ou moins (comme est r (x) {displaystyle r (x)}). Fond. Quand on choisit, et. Mais si le graphique de y = f [x] est concave, l`erreur dans l`approximation est la région entière qui se trouve entre la courbe et le segment de ligne joignant les points. On peut aussi vouloir s`intégrer sur des intervalles semi-infinis (Gauss-Laguerre) et infinis (quadrature Gauss – Hermite). Nous ne savons pas ce que R (x) {displaystyle R (x)} est, mais nous savons qu`il a un degré inférieur à n {displaystyle n} de sorte qu`il est égal au polynôme qui l`interpole aux valeurs x 1, x 2,. En analyse numérique, une règle de quadrature est une approximation de l`intégrale définie d`une fonction, généralement exprimée sous la forme d`une somme pondérée des valeurs de fonction à des points spécifiés dans le domaine d`intégration. Étant donné que le degré de f (x) {displaystyle f (x)} est inférieur à 2 n − 1 {displaystyle 2n-1}, la formule de quadrature gaussienne impliquant les poids et les nœuds obtenus à partir de p n (x) {displaystyle P_ {n} (x)} s`applique.

Le problème d`intégration peut être exprimé d`une manière un peu plus générale en introduisant une fonction de poids positif ω dans l`integrand, et en permettant un intervalle autre que [− 1,1].

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Posted on 26 diciembre, 2018 in Sin categoría

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